题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁，
(Ⅰ)证明：AB=AC；
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小。

答案

(Ⅰ)证明：取BC中点F，连结EF，则，从而，
连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE，
又DE⊥平面BCC₁，
故AF⊥平面BCC₁，从而AF⊥BC，
即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC．
(Ⅱ)解：作AC⊥BD，垂足为G，连结CG．
由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，
由题设知，∠AGC=60°，设AC=2，则，
又AB=2，BC=2，故AF=，
由AB·AD =AG·BD得，
解得AD=，故AD=AF，
又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形．
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，
故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF，
连结AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD，
连结CH，则∠ECH为B₁C与平面BCD所成的角，
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，
又，
所以∠ECH=30°，即B₁C与平面BCD所成的角为30°。