题目

题型：0124 模拟题难度：来源：

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如下图，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如下图。
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意可知，为正方形
∴，四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为，
所以平面SAB
又平面SAB
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB
所以SA⊥平面ABCD。（2）在AD上取一点O，使，连接EO
因为，
所以EO//SA
所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH
所以为二面角E-AC-D的平面角，
在中，

即二面角E-AC-D的正切值为。（3）当F为BC中点时，SF//平面EAC，理由如下：
取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD//FC，
所以
又由题意，SF//EM，
又平面EAC，
所以SF//平面EAC，
即当F为BC的中点时，SF//平面EAC。