题目

题型：江苏月考题难度：来源：

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB=BC=，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

答案

解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，
所以∠ABC=．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AC=2，∠ABC=90°，
所以AB=BC=，
从而B（0，0，0），A，C，B₁（0，0，3），
A₁，C₁，D，E．
所以，
设AF=x，则F（，0，x），.
，
所以．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由=2+x（x﹣3）=0，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B₁DF．
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）．
设平面B₁CF的法向量为n=（x，y，z），
则由得
令z=1得，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
cos<n，n₁>==．