题目

题型：期末题难度：来源：

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求四面体BCDF的体积．  

答案

（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE
∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE
（2）证明：连接 GF，
∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥CE ∵BE=BC，
∴F为EC的中点，
∵G是AC的中点，
∴FG∥AE
∵FG?平面BFD，AE平面BFD
∴AE∥平面BFD；
（3）解：取AB中点O，连接OE．
因为AE=EB，
所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE?面ABE，
所以OE⊥AD，所以OE⊥面ADC
因为BF⊥面ACE，AE?面ACE，
所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE?面ABE，
所以AE⊥BC．又BF∩BC=B，
所以AE⊥平面BCE，
又BE?面BCE，
所以AE⊥EB．
∵AE=EB=2，
∴AB=2 ，∴OE=
∴F到平面BCD的距离为 
∴四面体BCDF的体积 × ×2×2 × =