如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．（Ⅰ）求证：BD⊥P - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．魔方格

答案

证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴

=(-2，4，-4)，

=(-2，-1，0)，
∴

•

=0
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证

为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），

=(0，1，-4)，

=(-2，3，0)
所以

•

⇒

b=4c

a=6c

所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-

265

．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为

265

．

核心考点

试题【如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．（Ⅰ）求证：BD⊥P】；主要考察你对面面平行等知识点的理解。[详细]

举一反三

在空间四边形ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（　　）

题型：不详难度：| 查看答案

A．平面ABD⊥平面BDC

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面ADC

D．平面ABC⊥平面BED

已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是（　　）

A．.①③

B．②④

C．③④

D．①

互不重合的三个平面最多可以把空间分成（　　）个部分．

A．4

B．5

C．7

D．8

已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（　　）

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