题目

题型：0112 模拟题难度：来源：

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD， 如图2。
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；
（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小。

答案

解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）（方法一）连结AC，BD交于O点，连结GO，FO，EO，
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF//CD，且EF=CD，同理GO//CD，且GO=CD，
∴EF// GO， ∴四边形EFOG是平行四边形，
∴EO平面EFOG，
又在三角形PAC中，E，O分别为PC，AC的中点，
∴PA∥EO，EO平面EFOG，PA平面EFOG，
∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG。 （方法二）如图以D为原点，以为方向向量，
建立空间直角坐标系D-xyz，
则有关点及向量的坐标为：，
，
，
设平面EFG的法向量为，
∴ ，
取，
∵，
∴，
又平面EFG，
∴AP∥平面EFG.（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，
又∵PD⊥面ABCD，
∴AD⊥PD，
又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴向量是平面PCD的一个法向量，，
又由（Ⅰ）方法二，知平面EFG的法向量为，
∴
 结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°。