题目

题型：江西省模拟题难度：来源：

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC。
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=2，CD=2，OE=，求EC与平面ABCD所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连结OM，
在矩形ABCD中，，
又，则，
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形，
∴FO∥EM，
又平面CDE，且EM平面CDE，
∴FO∥平面CDE。
（Ⅱ）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，
EM⊥CD，且，
又，
因此，平行四边形EFOM为菱形，
过E作EG⊥OM于G，
∵CD⊥EM，CD⊥OM，
∴CD⊥平面EOM，∴CD⊥EG，
因此，EG⊥平面ABCD，所以，∠EGC为EC与底面ABCD所成角，
在△EOM中，，则△EOM为正三角形，
∴点E到平面ABCD的距离为，
所以，，
即EC与平面CDF所成角的正弦值为。