题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′-BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点，
(Ⅰ)求证：EF∥平面A′CD；
(Ⅱ)求直线A′E与平面BCD所成角的余弦值；
(Ⅲ)二面角B-A′C-D的余弦值．

答案

(Ⅰ)根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD于F，A′D= A′B，
∴F为BD的中点，
又E为BC的中点，
∴EF∥CD，
∴EF∥平面A′CD。
(Ⅱ)∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，
∴A′F⊥平面BCD，
∴∠A′EF为直线A′E与平面BCD所成的角，
设正方形ABCD边长为a，则，
∴，
∴直线A′E与平面BCD所成角的余弦值为。 (Ⅲ)连结FC，有，∴，
∴A′B=BC=A′C=A′D=CD=a，
取A′C的中点为M，则BM⊥A′C，DM⊥A′C，
∴∠BMD为二面角B-A′C-D的平面角，
∵△A′BC和△A′DC都为正三角形，
∴，
∴，
∴二面角B-A′C-D的余弦值为。