题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1。
（1）求证：AF∥平面BDE
（2）求证：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角A-BE-D的大小。

答案

解：（1）设AC与BD交于点G
因为EF∥AG，且
所以四边形ACEF为平行四边形，
所以AF∥EG
因为EG平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE；
（2）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz
则，，，
所以，
所以
所以CF⊥BE，CF⊥DE，
所以CF⊥平面BDE； 
（3）由（2）知是平面BDE的一个法向量，
设平面ABE的法向量n=（x，y，z），则
即
所以x=0，且
令y=1，则
所以
从而
因为二面角A-BE-D为锐角，
所以二面角A-BE-D的大小为。