题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，点F为DC₁的中点，
(1)证明：OF∥平面BCC₁B₁；
(2)证明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁。

答案

证明：(1)∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD=O，
∴O是BD的中点，
又点F为DC₁的中点，则在△DBC₁中，OF∥BC₁，
∵OF平面BCC₁B₁，B₁C₁平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁；
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
又BD⊥AA₁，AA₁∩AC =A，且AA₁、AC平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD平面DBC₁，
∴平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁。