题目

题型：0107 模拟题难度：来源：

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分别是棱CC₁、AB中点，
（1）求证：CF⊥BB₁；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积；
（3）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明。

答案

（1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又平面ABC，
∴CF⊥BB₁。 
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
又平面ABC，
∴，
，
∴AC⊥BC，
，
∴AC⊥平面ECBB₁，
∴，
∵E是棱CC₁的中点，
∴，
∴，
∴。

（3）解：CF∥平面AEB₁；
证明如下：取AB₁的中点G，
连结EG，FG，
∵F，G分别是棱AB、AB₁中点，
∴，
又，
∴，
∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，
又平面AEB，平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁。