题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点。
（Ⅰ）证明：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值

答案

解：（Ⅰ）如图连接BD
∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在PBD中，MN∥BD
又MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）如图建系：A（0，0，0），P（0，0，），M（，，0），N（，0，0），C（，3，0）
设Q（x，y，z），
则
∵，
∴
由，得：
即：
对于平面AMN：设其法向量为
∵
则． 
 ∴
同理对于平面AMN得其法向量为
记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为，
则
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为。