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题目
题型:不详难度:来源:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是所在棱的三等分点,且BF=DE=C1G=C1H=
1
3
AB

(1)证明:直线EH与FG共面;
(2)若正方体的棱长为3,求几何体GHC1-EFC的体积.
答案
(1)证明:连接BD、B1D1,∵C1H=C1G,∴
C1H
HD1
=
C1G
GB1
,∴HGD1B1
同理,由BF=DE,可得EFDB,又D1B1BD,∴HGEF.
∴HG、EF在平面EFHG中,由EH⊂平面EFHG,FG⊂平面EFHG,
∴直线EH与FG共面.
(2)由(1)知EH与FG共面不平行,设EH∩FG=0,
∵平面BCB1C1∩平面DCC1D1=CC1,∴O∈CC1,即EH、FG、CC1交于一点,
∴几何体GHC1-EFC为三棱台.
C1G=C1H=1,CE=CF=2,CC1=3,S1=
1
2
,S2=2,
∴V=
1
3
×(
1
2
+


1
2
×2
+2)×3=
7
2

核心考点
试题【如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是所在棱的三等分点,且BF=DE=C1G=C1H=13AB.(1)证明:直线EH与FG共面;(2)若】;主要考察你对线线、线面平行等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=


2
,AF=1
,M是线段EF的中点.
(1)证明:CM平面DFB
(2)求异面直线AM与DE所成的角的余弦值.
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如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正(主)视图和侧(左)视图(单位:cm).
(1)画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC",证明:BC"平面EFG.
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如图,已知边长都为1正方形ABCD与正方形ABEF,∠DAF=90°,M,N分别是对角线AC和BF上的点,且AM=FN=a(0<a<


2
)

(1)求证:MN平面BCE;
(2)求MN的最小值.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO为四棱锥P-ABCD的高,且PO=


3
,E、F分别是BC、AP的中点.
(1)求证:EF平面PCD;
(2)求三棱锥F-PCD的体积.
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如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EFAC,AB=


2
,CE=EF=1,∠ECA=60°.
(1)求证:AF平面BDE;
(2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值.
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