题目

题型：不详难度：来源：

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=

2

，AA₁=2，如图，
（1）当点P在BB₁上运动时（点P∈BB₁，且异于B，B₁）设PA∩BA₁=M，PC∩BC₁=N，求证：MN∥平面ABCD
（2）当点P是BB₁的中点时，求异面直线PC与AD₁所成角的正弦值．

答案

（1）证明：连接MN，∵BP∥AA₁，∴

PM

MA

=

BP

AA1

，
同理

PN

NC

=

BP

CC1

，∵AA₁=CC₁，∴

PM

MA

=

PN

NC

，∴MN∥AC，
又AC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，∴四边形ABC₁D₁为平行四边形，
∴AD₁∥BC₁，∴∠BNC为异面直线PC与AD₁所成角，
∵点P是BB₁的中点，∴BP=1=

1

2

CC₁，∴BN=

1

2

NC₁=

1

3

AC₁=

6

3

，
CN=2PN=

2

3

PC=

2 3

3

，BC=

2

，
由余弦定理得cos∠BNC=

BN2+CN2-BC2

2×BN×CN

=0，
∴sin∠BNC=1．