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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
1
2
PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)求证OD平面PAB;
(Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的大小.
答案
方法一:
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点,
∴ODPA又PA⊂平面PAB
∴OD平面PAB
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC,
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.在Rt△ODF中,sin∠ODF=
OF
OD
=


210
30

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin


210
30


方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设AB=a,则A(


2
2
a,0,0),B(0,


2
2
a,0),C(-


2
2
a,0,0)

设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,


OD
=(-


2
4
a,0,
1
2
h),又


PA
=(


2
2
a,0,-h)



OD
=-
1
2


PA
.∴


OD


PA
.∴OD平面PAB.
(Ⅱ)∵PA=2a∴h=


7
2
a



OD
=(-


2
4
a,0,


14
4
a)
,可求得平面PBC的法向量


n
=(-1,1,


1
7
)

cos〈


OD


n
>=


OD


n
|


OD
|•|


n
|
=


210
30

设OD与平面PBC所成的角为θ,
sinθ=|cos〈


OD


n
>|=


210
30

∴OD与平面PBC所成的角为arcsin


210
30

核心考点
试题【如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=12PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.(Ⅰ)求证OD∥平面PAB;(Ⅱ)求直线OD与平】;主要考察你对线线、线面平行等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直,其中ABDC,AD=CD=
1
2
AB
,且O为AB中点.
(I)求证:BC平面POD;
(II)求证:AC⊥PD.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD的中点,
求证:EF平面BCD.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA⊥PD,E,F分别为PC,BD的中点.证明
(1)EF平面PAD;
(2)EF⊥平面PDC.
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如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,其中BC=2AB=2PA=6,M、N为侧棱PC上的两个三等分点.
①求证:AN平面MBD;
②求二面角M-BD-C的余弦值.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=PA=2AB,E是PC中点.
(1)求证:BE平面PAD;
(2)求异面直线PD与BC所成角的余弦值.
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