题目

题型：不详难度：来源：

在高为1的直四棱柱ABCD-A"B"C"D"中，底面ABCD是等腰梯形，AB=BC=CD=1，AD=2． 
（1）求异面直线BC"与CD"所成的角；
（2）求被截面ACD"所截的两部分几何体的体积比．

答案

（1）由已知ABCD和A"B"C"D"是全等的底角为60°的等腰梯形，


B"BCC"和C"CDD"是边长为1的正方形．
设AD的中点为E，A"D"的中点为E"，连接BE"．
∵BCDE-B"C"D"E"是底面为菱形的直四棱柱，
∴BE"∥CD"，∠E"BC"是异面直线BC"与CD"所成的角．
∵在△BC"E"中，BC′=BE′=

2

 ， C′E′=1，cos ∠ E′BC′=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

，
∴异面直线BC"与CD"所成的角是arccos

3

4

．
（2）求被截面ACD"所截的两部分几何体的体积比．
∵V_D"-ACD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

，V_ABCD-A"B"C"D"=

1+2

2

×

3

2

×1=

3 3

4

，
V_ABCD-A"B"C"D"-V_D"-ACD=

3 3

4

-

3

6

=

7 3

12

，
∴被截面ACD"所截的两部分几何体的体积比是

3

6

：

7 3

12

=2：7．