题目

题型：不详难度：来源：

如图在四棱锥P-ABCD中侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形．其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点
①若CD∥平面PBO 试指出O的位置并说明理由
②求证平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1，AB=2

2

，求P-ABCD的体积．

答案

①因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以BO∥CD
又BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，
而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．
②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD；
③过P作PE⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥底面ABCD，
∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，
∴PA=2

2

∴PE=

2 2

3

∵AB=2

2

，∠BAD=90°
∴P-ABCD的体积为

1

3

•

1

2

•(1+3)•2

2

•

2 2

3

=

16

9

．