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题目
题型:重庆难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=1,∠ABC=90°;点D、E分别在BB1,A1D上,且B1E⊥A1D,四棱锥C-ABDA1与直三棱柱的体积之比为3:5.
(1)求异面直线DE与B1C1的距离;
(2)若BC=


2
,求二面角A1-DC1-B1的平面角的正切值.魔方格
答案

魔方格
(Ⅰ)因B1C1⊥A1B1,且B1C1⊥BB1,故B1C1⊥面A1ABB1
从而B1C1⊥B1E,又B1E⊥DE,故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线
设BD的长度为x,则四棱椎C-ABDA1的体积V1V1=
1
3
SABDA1⋅BC=
1
6
(DB+A1A)⋅AB⋅BC=
1
6
(x+2)⋅BC

而直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2V2=S△ABC⋅AA1=
1
2
AB⋅BC⋅AA1=BC

由已知条件V1:V2=3:5,故
1
6
(x+2)=
3
5
,解之得x=
8
5

从而B1D=B1B-DB=2-
8
5
=
2
5

在直角三角形A1B1D中,A1D=


A1B12+B1D2
=


1+(
2
5
)
2
=


29
5

又因SA1B1D=
1
2
A1D•B1E=
1
2
A1B1B1D

B1E=
A1B1B1D
A1D
=
2


29
29

(Ⅱ)如图1,过B1作B1F⊥C1D,垂足为F,连接A1F,因A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1D,故A1B1⊥面B1DC1
由三垂线定理知C1D⊥A1F,故∠A1FB1为所求二面角的平面角
在直角△C1B1D中,C1D=


B1C12+B1D2
=


2+(
2
5
)
2
=
3


6
5

又因SC1B1D=
1
2
C1D•B1F=
1
2
B1C1B1D

B1F=
B1C1B1D
C1D
=
2


3
9
,所以tanA1FB1=
A1B1
B1F
=
3


3
2
核心考点
试题【如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=1,∠ABC=90°;点D、E分别在BB1,A1D上,且B1E⊥A1D,四棱锥C-ABDA1与直三棱柱】;主要考察你对柱锥台的表面积等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,连结A1C、BD.
(Ⅰ)求证:A1C⊥BD;
(Ⅱ)求三棱锥A1-BCD的体积.魔方格
题型:广州一模难度:| 查看答案
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为


2
,D为A1C1中点.
(Ⅰ)求证;BC1平面AB1D;
(Ⅱ)三棱锥B-AB1D的体积.魔方格
题型:大连一模难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是DC的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB.
(Ⅰ)若F是BP的中点,求证:CF面APE;
(Ⅱ)求证:面APE⊥面ABCE;
(Ⅲ)求三棱锥C-PBE的体积.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
底面边长为2,侧棱与底面成60°的正四棱锥的侧面积为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段DD1,BD的中点.
(1)求异面直线EF与BC所成的角;
(2)求三棱锥C-B1D1F的体积.魔方格
题型:黄埔区一模难度:| 查看答案
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