题目

题型：不详难度：来源：

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，  AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°.E为BB₁的中点，D点在AB上且DE=.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁－CDE的体积.

答案

(1)见解析     （2）三棱锥A₁－CDE的体积为１．        

解析

(1)证明线面垂直根据判断定理，只需要证明直线垂直这个平面内的两条相交直线即可.本小题可以证明CD⊥AB, CD⊥AA₁即可.
(2)本小题求面积不易直接求，采用整体减去部分的作法求解.本小题可以用求解
(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=，∴BD=== AB，
∴ 则D为AB中点,  而AC=BC， ∴CD⊥AB                    
又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁为直三棱柱, ∴CD⊥AA₁
又 AA₁∩AB="A" 且 AA₁、AB Ì平面A₁ABB₁
故 CD⊥平面A₁ABB₁                                                    6分
（2）∵四边形A₁ABB₁为矩形，∴△A₁AD，△DBE，△EB₁A₁都是直角三角形，
∴ 
=2×2－××2－××1－×2×1=
∴  V_A1－CDE =V_C－A1DE = ×S_A1DE ×CD= ××=1
∴ 三棱锥A₁－CDE的体积为１