题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.

答案

（1）.（2）二面角的余弦值为.
（3）点到平面的距离

解析

解：（1）证明：取线段的中点，连接.
因为，，所以且.
因为平面平面，平面平面，所以平面，所以.
建立如图所示空间直角坐标系,则,

.
因为,
所以,
即
（2）为平面的一个法向量.
由（1）得：，.
设为平面的一个法向量，则

取，则   

所以
由图可知：二面角是锐角二面角，
所以二面角的余弦值为.
（3）由（1）（2）可得：，为平面的一个法向量.
所以，点到平面的距离