题目
题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥中,底面, 点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
答案
解析
(1)根据已知条件,PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,然后借助于三角形得到求解。
解法1(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的正弦值为
解法2如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,
设,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,
∴.
∴与平面所成的角的正弦值为
核心考点
试题【(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面, 点,分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;】;主要考察你对空间几何体的视图与直观图等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1)求异面直线AF与BG所成的角的大小;
(2)求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值
如图,在梯形中,∥,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;
心,是的中点,.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ当取何值时,在平面内的射影恰好为的重心?
如图1,在三棱锥P-A.BC中,PA.⊥平面A.BC,A.C⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1) 证明:A.D⊥平面PBC;
(2) 求三棱锥D-A.BC的体积;
(3) 在∠A.CB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面A.BD,并求此时PQ的长.
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