题目

题型：不详难度：来源：

几何体的三视图如图，与交于点，分别是直线的中点，

（I）面；
（II）面；
（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．

答案

（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）。

解析

试题分析：由三视图知，四边形．均为边长为的正方形，且
面
几何体是直三棱柱．．．．．．．．．．．．．．．2分
（1）连接，分别为的中点
，面，面
面．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）法一：在中，由得
同理在中可得，在中可得
  由是直线的中点得，而
 
又 
面．．．．．．．．．．．．．．．8分
法二：如图以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标，则
,,,,，则

设面的一个法向量为，则
取，则，面的一个法向量为
所以，面．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）如图以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标，则
,,,,,
因为面，是面的一个法向量．
，
设面的一个法向量为，则
取，则，面的一个法向量为

所以二面角的平面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．13分
点评：判断线面平行的常用方法：①应用线面平行的判断定理，即由线线平行推线面平行；②应用面面平行的性质定理，即由面面平行证明线面平行；③向量法。