题目

题型：不详难度：来源：

在透明塑料制成的正方体容器中灌进体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．
其中正确的结果是 （    ）

A．①②③

B．①③④

C．②③④

D．①②③④

答案

D

解析

试题分析：问题等价于用一个平面去截正方体，所截得的较小的几何体的体积为正方体体积的，假设正方体容器，假设正方体的棱长为，则正方体的体积，
（1）当截面过、、三点时，平面截正方体形成的较小的几何体为三棱锥，，
，此时水面形状即截面图形形状为三角形；

（2）如下图所示，用不与棱平行的平面截正方体分别交、、、于、、、，由于平面平面，平面平面，平面平面，由平面与平面平行的性质定理知，且，则截面图形为梯形，则几何体为台体，只需与的面积满足一定的条件，能保证平面截正方体所形成的较小体积的几何体的体积为.

（3）如下图所示，用平行于棱去截正方体分别交、、、于、、、，所形成的较小的几何体为三棱柱，当，则三棱柱的体积
，此时截面图形为矩形.

（4）如下图所示，在水面刚过、、的时候，再将正方体容器再倾斜一点，这时水面（即截面）分别交棱、、、、于点、、、、五点，将这五点连接起来便成为五边形，由平面与平面平行的性质定理知，，此时截面截正方体所形成的体积较小的几何体为多面体，它的体积为.