题目

题型：不详难度：来源：

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是

3

，在正方体表面上到点A的距离为2的点的轨迹形成的所有曲线的总长度是（　　）

A．2π

B． 4 3 3 π

C． 5 2 π

D． 5 3 3 π

答案

由题意，此问题的实质是以A为球心、2为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

π

6

；
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，
由于截面圆半径为r=1，故各段弧圆心角为

π

2

．
∴这条曲线长度为3•

π

6

•2+3•

π

2

•1=

5

2

π
故选C．