题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共14分）
　　四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°。
　　（I）求证：BC⊥平面PAC；
　　（II）求二面角D—PC—A的大小；
　　（III）求点B到平面PCD的距离。
　　

答案

，

解析

　解法一：
　　证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD，
　　∴PA⊥BC
　　∵∠ACB=90°
　　∴BC⊥AC
　　又
　　∴BC⊥平面PAC　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　解：（II）∵AB//CD，∠DAB=120°
　　∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
　　∴△ADC为等边三角形，且AC=1　　　　　　 5分
　　取AC的中点O，则DO⊥AC
　　∵PA⊥底面ABCD
　　∴PA⊥DO
　　∴DO⊥平面PAC
　　过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DH⊥PC
　　∴∠DHO为二面角D—PC—A的平面角　　　　　　　　　　　　 7分
　　由　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　
　　∴二面角D—PC—A的大小为arctan2　　　　　　　　　　　　　　9分
　　（III）设点B到平面PCD的距离为d
　　∵AB//CD，平面PCD
　　∴AB//平面PCD
　　∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离　　　　　 11分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分
　　
　　解法二：
　　证明：（I）同解法一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　解：（II）取CD的中点E，则AE⊥CD
　　∴AE⊥AB
　　又PA⊥底面ABCD，底面ABCD
　　∴PA⊥AE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分
　　建立空间直角坐标系，如图。则

A（0，0，0），
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分
　　设为平面PAC的一个法向量
　　为平面PDC的一个法向量，则
　　，
　　可取；
　　，可取　9分
　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　
　　故所求二面角的大小为　　　　　　　　　　　　　 11分
　　（III）又B（0，2，0），　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　由（II）取平面PCD的一个法向量
　　∴点B到平面PCD的距离为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分