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题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,侧面PAD
是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCDE为侧棱PD的中点.
(I)试判断直线PB与平面EAC的关系
(文科不必证明,理科必须证明);
(II)求证:AE⊥平面PCD
(III)若ADAB,试求二面角APCD
的正切值.
答案
(I)PB∥平面EAC.(II)证明见解析 ,(III)二面角APCD的正切值为.  
解析
解法一:
(I)PB∥平面EAC.证明如下:
连结BDAC于点O,连结EO,则OBD的中点,
又∵EPD的中点,∴EOPB,∴PB∥平面EAC
(II)∵CDAD,且侧面PAD⊥底面ABCD
而侧面PAD底面ABCDAD
CD⊥侧面PAD,∴CDAE
∵侧面PAD是正三角形,E为侧棱PD的中点,
AEPD,∴AE⊥平面PCD;     
(III)过EEMPCM,连结AM,由(2)及三垂线定理知AMPC
∴∠AME为二面角APCD的平面角.                               10分
由正三角形PAD及矩形ABCD,且ADAB,∴PDADABDC
∴在等腰直角三角形DPC中,设ABa,则AEaPCaEM×a. 12分
AEM中,tan∠AME. 
即二面角APCD的正切值为.        
解法二:(I)同解法一                   

(II)设NAD中点,QBC中点,则因为△PAD是正三角形,底面ABCD是矩形,所以,PNADQNAD,又因为侧面PAD⊥底面ABCD,所以,PN⊥面ABCDQN⊥面PAD,以N为坐标原点,NANQNP所在直线分别为xyz轴如图建立空间直角坐标系.设AD=1,ABa,则.                                                                                                   
.
.
.又PDDCPDC
AE⊥平面PCD;            
(III)当a=1时,由(2)可知:是平面PDC的法向量,
设平面PAC的法向量为,则
,取x=1,可得:y=1,z.所以,.    
向量所成角的余弦值为:.  
∴tanq=.                                                             
又由图可知,二面角APCD的平面角为锐角,所以二面角APCD的平面角就是向量所成角的补角.其正切值等于.                                       14分
核心考点
试题【如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(I)试判断直线PB与平面EAC的关系(文科不必证明】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,梯形ABCD中,CD//ABEAB的中点,将△ADE沿DE折起,使点A折到点P的位置,且二面角的大小为1200
(I)求证:
(II)求直线PD与平面BCDE所成角的大小;
(III)求点D到平面PBC的距离.
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如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,点在侧棱上,

(I)证明:是侧棱的中点;
(Ⅱ)求二面角的大小。
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已知:正方体为棱
的中点.
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积;
(3)求证:平面. 
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如图,四棱锥的底面是正方形,平面上的点.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由
B沿棱柱侧面经过棱C C1到点A1的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交
点为D.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行?证明你的判断;
(3)证明:平面A1BD⊥平面A1ABB1
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