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题目
题型:不详难度:来源:
在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1,
⑴求证:平面BEF⊥平面DEF;
⑵求二面角A-BF-E的大小。
答案
(1)见解析
(2)二面角的大小为
解析

①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,
∴EC⊥平面ABCD;连接BD交AC于点O,连接FO,
∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2;
在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O为AC中点,
∴FO∥EC,且FO=1;易求得DF=BF=
DE=BE=,由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF,
∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角,
由BF=DF=,BD=2可知∠BFD=
∴平面BEF⊥平面DEF ………………(6分)
⑵取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,
又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角。
易求得
在Rt△中,可求得
∴在△中,由余弦定理求得
 ……………………………(12分)
解法2:⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则
,,,,
…(2分)
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
,则
 ①
 ②, ③, ④.
由①③③④解得,∴,…(4分)
,∴,故平面BEF⊥平面DEF…………(6分)
⑵设平面ABF的法向量为,∵
,解得
,………(8分)∴……(10分)
由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,故所求二面角的大小为
核心考点
试题【在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1, ⑴求证:平面BEF⊥平面DEF;】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,底面的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求直线与平面所成的角;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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在棱长AB=AD=2,AA1=3的长方体AC1中,点E是平面BCC1B1上动点,点F是CD的中点.
(Ⅰ)试确定E的位置,使D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)求二面角B1—AF—B的大小.
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在三棱锥中,,.
(1)  求三棱锥的体积;
(2)  证明:;
(3)  求异面直线SB和AC所成角的余弦值。
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如图6,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面ABCD相交于CD,

平面CDE,且.
(1)求证:平面
(2)求凸多面体的体积.
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正四棱锥的侧棱长为,侧棱与底面所成的角为,则该棱锥的体积为(   )
A.3B.6 C.9D.18

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