题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分14分)

E

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面

A

所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，

D

C

B

 (Ⅰ)求证：平面⊥平面；(Ⅱ)在棱上是否存在一点，使？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

答案

(Ⅰ) 平面⊥平面
(Ⅱ) E是PD中点，存在E点使得CE//面PAB

解析

解：不妨设PA = 1.
(Ⅰ)由题意PA = BC =" 1," AD = 2．
∵ PA⊥面ABCD，∴ PB与面ABCD所成的角为∠PBA = 45°．………………2分
∴ AB = 1，由∠ABC = ∠BAD = 90°，易得CD = AC = ．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．……………………3分
又∵ PA⊥CD, PA∩AC = A，∴ CD⊥面PAC,……………………5分
又CDÌ面PCD，

z

∴ 面PAC⊥面PCD．……………………7分

P

(Ⅱ)分别以AB, AD, AP所在直线分别为x轴, y轴, z轴

E

建立空间直角坐标系．∴ P(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D(0, 2, 0)．………… 8分
 
设，则,．…………………… 9分
∵，∴ y·(－1)－2 (z－1) =" 0" … ①…………………………… 10分
是平面的法向量，…………………………… 11分
又，由，∴．…………………………… 12分
∴，∴ y = 1，代入①得z = ． …………………13分
∴ E是PD中点，∴ 存在E点使得CE//面PAB．   …………………… 14分