题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如右图所示，四棱锥中，底面为正方形，
平面，，，，分别为

、、的中点．（1）求证：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

答案

（1）证法1：∵平面，平面，
∴．
又为正方形，
∴．
∵，
∴平面．…………………4分
∵平面，
∴．
∵，
∴．…………………6分
证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，，
，．…………………4分
∵，
∴．…………………6分
（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，，
，，
．…………………8分
设平面DFG的法向量为，
∵

令，得是平面的一个法向量．…………10分
设平面EFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．……………12分
∵．
设二面角的平面角为θ，则．
所以二面角的余弦值为．…………………14分
解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，．…………………8分
过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，
∴，
∵，
∴，
即，解得．…………………10分
∴.
再过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵， ∴，
即，
解得．∴．
∴．…………………12分
∵与所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值为．…………………14分

解析

略