题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，为的中点,面．
(Ⅰ)求的长；
(Ⅱ)求证：面面；
(Ⅲ)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．

答案

（Ⅰ）取的中点，连接


则为梯形的中位线，
又,所以
所以四点共面……………2分
因为面，且面面
所以
所以四边形为平行四边形，
所以……………4分
（Ⅱ）由题意可知平面面；
又且平面
所以面
因为   所以面
又面，所以面面；……………6分
（Ⅲ）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
 ……7分
设为的中点，则
易证：平面
平面的法向量为……………8分
设平面的法向量为，
由得 所以……………10分
所以，……………11分
所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为．            ……12分

解析

略