题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．
（1）求证：平面
（2）当平面与底面所成二面角为时，求二面角的大小．

答案

解：
（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，
∵∴∴，且，
∴是直角三角形，且，…………………………………3分
∴，∵平面，∴，
且，∴平面………………………………………6分
（2）解法1：由（1）知，且是平行四边形，可知，
又∵平面，由三垂线定理可知，，
又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，
从而又在中，，
∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，
∴中位线，且平面，∴平面，
在中，中线，由三垂线定理知，，
为二面角的平面角，
在中，，，
，，
∴二面角的大小为.
解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以、、
所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为,
则由
又是平面的一个法向量，
平面与底面所成二面角为
，解得，
设平面的一个法向量为,
则由.
又是平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则
，∴ ∴
∴二面角的大小为.…………………….…….……12分

解析

略