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题目
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如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,的交点,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角的大小.
答案

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)见解析    (Ⅲ)
解析
本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又平面平面,∴平面,又,∴平面. 可得证明
(3)因为∴为面的法向量.∵
为平面的法向量.∴利用法向量的夹角公式,
的夹角为,即二面角的大小为
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点

,又点,∴
,且不共线,∴
平面平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵
,即
,∴平面.  ………8分
(Ⅲ)∵,∴平面
为面的法向量.∵
为平面的法向量.∴
的夹角为,即二面角的大小为
核心考点
试题【如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的大小.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,为棱上一点,且平面平面.
(Ⅰ)求证:点为棱的中点;
(Ⅱ)判断四棱锥的体积是否相等,并证明。
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若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为       
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为两个不重合的平面,是两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若,则;②若相交且不垂直,则不垂直;③若,则n⊥; ④若,则.其中所有真命题的序号是      
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如果一个正三棱锥的底面边长为6,则棱长为,那么这个三棱锥的体积是
A.9B.18C.D.

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圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是   _____cm.
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