题目

题型：不详难度：来源：

（本小题9分）
如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，，点E是SD上的点，且

（Ⅰ）求证：对任意的，都有
（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

答案

（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）

解析

(1)可以通过证明即可。
(II)先找出二面角C-AE-D的平面角∠CDF，即∠CDF=.直线BE与平面ABCD所成的角,即=.然后再根据建立关于的方程，解出的值。
解:Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，

由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ------3分
（Ⅱ）如图1，

由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,
SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。  ------------------5分
在Rt△BDE中，BD=2a，DE= 
在Rt△ADE中,
从而在中，      --7分
由，得.
由，解得，即为所求.   ---------------------------------9分
（1）证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系，

则：D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），---------2分

，     即。       ---------3分
解法2：
由（I）得.
设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得
。--------------------5分
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.   -------------7分
0<，，
            =1

由于，解得，即为所求。--------------------9分