题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．

(1)当时，求证：AO⊥平面BCD；
(2)当二面角的大小为时，求二面角的正切值．

答案

(1)先证 AO⊥CO, AO⊥BD   (2)

解析

试题分析：(1)根据题意知，在△AOC中，，，
所以，所以AO⊥CO．
因为AO是等腰直角E角形ABD的中线，所以AO⊥BD．
又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD．
(2)法一 由题易知，CO⊥OD．如图，以O为原点，
OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有O(0，0，0)，，，．
设，则，．
设平面ABD的法向量为，

则即
所以，令，则．
所以．
因为平面BCD的一个法向量为，
且二面角的大小为，所以，
即，整理得．
因为，所以，
解得，，所以，
设平面ABC的法向量为，
因为，，
则即
令，则，．所以．
设二面角的平面角为，则
．
所以，即二面角的正切值为．
法二 在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，
所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．
如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，
因为BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，
所以BD⊥平面AOC．
因为AH平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．
过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK．
因为BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．
因为HK平面AHK，所以BC⊥HK，
所以∠AKH为二面角的平面角．

在△AOH中，∠AOH=，，则，，
所以．
在R t△CHK中，∠HCK=，所以．
在 R t△AHK中，，
所以二面角的正切值为．
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．