题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求PD与BC所成角的大小;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-D的大小.
答案
(2)根据题意,由于BC⊥AC,且有PA⊥BC,则可以根据线面垂直的判定定理来得到结论。
(3)60o
解析
试题分析:(Ⅰ)取的AB中点H,连接DH,易证BH//CD,且BD="CD" 1分
所以四边形BHDC为平行四边形,所以BC//DH
所以∠PDH为PD与BC所成角2分
因为四边形,ABCD为直角梯形,且∠ABC=45o, 所以DA⊥AB
又因为AB=2DC=2,所以AD=1, 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形,所以PD=DH=PH=,故∠PDH=60o 4分
(Ⅰ)连接CH,则四边形ADCH为矩形, ∴AH=DC 又AB=2,∴BH=1
在Rt△BHC中,∠ABC=45o , ∴CH=BH=1,CB= ∴AD=CH=1,AC=
∴AC2+BC2=AB2 ∴BC⊥AC……6分 又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……7分
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC 8分
(Ⅲ)如图,分别以AD、AB、AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由题设可知:
A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
∴=(0,0,1),=(1,1,-1) 9分
设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量, 则,即
设,则,∴m=(1,-1,0) 10分
同理设n=(x,y,z) 为平面PCD的一个法向量,求得n=(1,1,1) 11分
∴ 12分
所以二面角A-PC-D为60o 13分
点评:主要是考查了空间中线面角和二面角的平面角的求解,以及线面垂直的判定,属于基础题。
核心考点
试题【如图,在四棱锥ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1.(Ⅰ)求PD与BC所成】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
(Ⅰ) 证明:平面;
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
(I)求证
(II)
(1) 证明://平面;
(2) 证明:平面;
(3) 当时,求三棱锥的体积.
A. | B. | C. | D. |
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