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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且的中点.

(1)求点到面的距离;
(2)求二面角的正弦值.
答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)解法一是利用等体积法求出点到平面的距离,具体做法是:先利用两两垂直以及它们的长度计算出三棱锥的体积,然后将此三棱锥转换成以点为顶点,以所在平面为底面的三棱锥通过体积来计算点到平面的距离;解法二是直接利用空间向量法求点到平面的距离;(2)解法一是通过三垂线法求二面角的正弦值,即在平面内作,垂足为点,连接,证明,从而得到为二面角的平面角,再选择合适的三角形求出的正弦值;解法二是直接利用空间向量法求二面角的余弦值,进而求出它的正弦值.
试题解析:解法一:(1)如下图所示,取的中点,连接

由于,且
平面平面平面
平面
的中点,
平面平面平面
平面
,且
的中点,
平面平面


设点到平面的距离为,由等体积法知,
,即,即点到平面的距离为
(2)如下图所示,过点在平面内作,垂足为点,连接


平面平面平面,即平面
平面,又
平面平面平面
平面


同理可知,故二面角的平面角为

中,
中,
由正弦定理得
即二面角的正弦值为
解法二:(空间向量法)由于两两垂直,不妨以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

(1)由上图知,
设平面的一个法向量为



,可得平面的一个法向量为,而

设点到平面的距离为,则
即点到平面的距离为
(2)设平面的一个法向量为


,可得平面的一个法向量为

设二面角的平面角为,则为锐角,

即二面角的正弦值为.
核心考点
试题【如图,已知三棱锥的侧棱、、两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离;(2)求二面角的正弦值.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
在棱长为1的正方体AC1中,点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界),若动点P始终满足PA⊥BD1,则动点P的轨迹的长度为________.
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.正三棱锥的底边长和高都是2,则此正三棱锥的斜高长度为(    )
A.B.C.D.

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集合,它们之间的包含关系是                     
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如图,在直三棱柱中,底面△为等腰直角三角形,为棱上一点,且平面⊥平面.

(Ⅰ)求证:为棱的中点;(Ⅱ)为何值时,二面角的平面角为.
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在空间直角坐标系中,点,关于轴对称的点的坐标是(      )
A.B.C.D.

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