题目
题型:不详难度:来源:
(1)求点到面的距离;
(2)求二面角的正弦值.
答案
解析
试题分析:(1)解法一是利用等体积法求出点到平面的距离,具体做法是:先利用、、两两垂直以及它们的长度计算出三棱锥的体积,然后将此三棱锥转换成以点为顶点,以所在平面为底面的三棱锥通过体积来计算点到平面的距离;解法二是直接利用空间向量法求点到平面的距离;(2)解法一是通过三垂线法求二面角的正弦值,即在平面内作,垂足为点,连接、,证明,,从而得到为二面角的平面角,再选择合适的三角形求出的正弦值;解法二是直接利用空间向量法求二面角的余弦值,进而求出它的正弦值.
试题解析:解法一:(1)如下图所示,取的中点,连接、,
由于,,且,
平面,平面,平面,
平面,,
,为的中点,,
,平面,平面,平面,
平面,,
,且,,
为的中点,,
平面,平面,,,
,
而,,
设点到平面的距离为,由等体积法知,,
即,即,即点到平面的距离为;
(2)如下图所示,过点在平面内作,垂足为点,连接,
,,,
平面,平面,平面,即平面,
平面,,又,,
平面,平面,平面,
平面,,
,,
,,,
同理可知,故二面角的平面角为,
,
在中,,
在中,,,,
由正弦定理得,,
即二面角的正弦值为;
解法二:(空间向量法)由于、、两两垂直,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
(1)由上图知,,,,,
设平面的一个法向量为,,
,
,
,
令,可得平面的一个法向量为,而,
,,
设点到平面的距离为,则,
即点到平面的距离为;
(2)设平面的一个法向量为,,,
,
,
令,可得平面的一个法向量为,
,,,
设二面角的平面角为,则为锐角,
且,,
即二面角的正弦值为.
核心考点
试题【如图,已知三棱锥的侧棱、、两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离;(2)求二面角的正弦值.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求证:为棱的中点;(Ⅱ)为何值时,二面角的平面角为.
A. | B. | C. | D. |
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