题目

题型：江苏高考真题难度：来源：

请先阅读：在等式cos2x=2cos²x-1 (x∈R)的两边对x求导（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx，
(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），试由等式（x∈R，整数n≥2），证明：；
(Ⅱ)对于整数n≥3，求证：
(ⅰ)；
(ⅱ)；
(ⅲ)。

答案

证明：(Ⅰ)在等式两边对x求导，得
，
移项得。（*）
(Ⅱ)(ⅰ)在(*)式中，令x=-1，
整理，得，
所以。
(ⅱ)由(Ⅰ)知，
两边对x求导，得，
在上式中令x= -1，得，
即，
亦即，①
又由(ⅰ)知，，②
由①+②，得。
(ⅲ)将等式两边在[0，1]上对x积分，
，
由微积分基本定理，得
，
所以。