题目

题型：不详难度：来源：

把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有  ▲  个．

答案

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解析

设等差分拆中最小一项为，数列的公差为。若是由3个正整数构成的等差分拆，则有，即，所以或或…或或，共有10组等差分拆；
若是由4个正整数构成的等差分拆，则有，即，所以或，共有2组等差分拆；
若是由5个正整数构成的等差分拆，则有，即，所以或或，共有3组等差分拆；
若是由6个正整数构成的等差分拆，则有，即，所以，共有1组等差分拆；
若是由7个正整数构成的等差分拆，则有，此时有0组等差分拆；
而此后只存在若干个相等的正整数构成的等差分拆，则只可能是有10,15和30个正整数构成的等差分拆
综上可得，总共有10+2+3+1+3=19组等差分拆