题目

题型：不详难度：来源：

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两解，则x取值范围是2＜x＜2

2

；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，则△ABC的外接圆半径等于

14 3

3

；③在△ABC中，若c=5，

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，则△ABC的内切圆的半径为2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，则BC边的中线AD=

7

2

；⑤设三角形ABC的BC边上的高AD=BC，a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边，则

b

c

+

c

b

的取值范围是[2，

5

]．其中正确说法的序号是______（注：把你认为是正确的序号都填上）．

答案

①因为AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A=90°时圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即

2

2

＜sinA＜1，
∵b=2，B=45°，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=x=

bsinA

sinB

=2

2

sinA，
又

2

2

＜sinA＜1，
∴2

2

sinA∈（2，2

2

），
则x取值范围是2＜x＜2

2

，本选项正确；
②∵b=8，c=5，A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+25-40=49，
解得：a=7，
设三角形ABC的外接圆半径为R，
根据正弦定理得：2R=

a

sinA

=

7

sin60°

，解得：R=

7 3

3

，本选项错误；
③由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，∴

sinB

sinA

=

cosA

cosB

，即sinBcosB=sinAcosA，
∴

1

2

sin2B=

1

2

sin2A，即sin2B=sin2A，
又A和B为三角形的内角，
∴2A+2B=180°或2A=2B，
∵

b

a

=

4

3

，得到a≠b，即A≠B，故2A=2B舍去，
∴A+B=90°，即C为直角，
可设a=3k（k＞0），则有b=4k，根据勾股定理列得：（3k）²+（4k）²=25，
解得：k=1，即a=3，b=4，
则三角形内切圆的半径r=

3+4-5

2

=1，本选项错误；
④∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

3

，
又D为BC的中点，∴BD=

1

2

BC=

9

2

，
在三角形ABD中，AB=4，BD=

9

2

，cosB=

2

3

，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=

49

4

，
解得：AD=

7

2

，本选项正确；
⑤∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)，
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA
=

5

（

2 5

5

cosA+

5

5

sinA）
=

5

sin（α+A）≤

5

，
（其中sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

），
又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

∈[2，

5

]，本选项正确，
则正确说法的序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤