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题目
题型:不详难度:来源:
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中:①在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若该三角形有两解,则x取值范围是2<x<2


2
;②在△ABC中,若b=8,c=5,A=60°,则△ABC的外接圆半径等于
14


3
3
;③在△ABC中,若c=5,
cosA
cosB
=
b
a
=
4
3
,则△ABC的内切圆的半径为2;④在△ABC中,若AB=4,AC=7,BC=9,则BC边的中线AD=
7
2
;⑤设三角形ABC的BC边上的高AD=BC,a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边,则
b
c
+
c
b
的取值范围是[2,


5
]
.其中正确说法的序号是______(注:把你认为是正确的序号都填上).
答案
①因为AC=b=2,要使三角形有两解,就是要使以C为圆心,半径为2的圆与BA有两个交点,
当A=90°时圆与AB相切;当A=45°时交于B点,也就是只有一解,
∴45°<A<90°,即


2
2
<sinA<1,
∵b=2,B=45°,
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得:a=x=
bsinA
sinB
=2


2
sinA,


2
2
<sinA<1,
∴2


2
sinA∈(2,2


2
),
则x取值范围是2<x<2


2
,本选项正确;
②∵b=8,c=5,A=60°,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=64+25-40=49,
解得:a=7,
设三角形ABC的外接圆半径为R,
根据正弦定理得:2R=
a
sinA
=
7
sin60°
,解得:R=
7


3
3
,本选项错误;
③由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得:
b
a
=
sinB
sinA

cosA
cosB
=
b
a
,∴
sinB
sinA
=
cosA
cosB
,即sinBcosB=sinAcosA,
1
2
sin2B=
1
2
sin2A,即sin2B=sin2A,
又A和B为三角形的内角,
∴2A+2B=180°或2A=2B,
b
a
=
4
3
,得到a≠b,即A≠B,故2A=2B舍去,
∴A+B=90°,即C为直角,
可设a=3k(k>0),则有b=4k,根据勾股定理列得:(3k)2+(4k)2=25,
解得:k=1,即a=3,b=4,
则三角形内切圆的半径r=
3+4-5
2
=1,本选项错误;
④∵AB=c=4,AC=b=7,BC=a=9,
∴由余弦定理得:cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
2
3

又D为BC的中点,∴BD=
1
2
BC=
9
2

在三角形ABD中,AB=4,BD=
9
2
,cosB=
2
3

由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BDcosB=
49
4

解得:AD=
7
2
,本选项正确;
⑤∵BC边上的高AD=BC=a,
∴S△ABC=
1
2
a2
=
1
2
bcsinA

∴sinA=
a2
bc
,又cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
(
b
c
+
c
b
-
a2
bc
)

b
c
+
c
b
=2cosA+sinA
=


5
2


5
5
cosA+


5
5
sinA)
=


5
sin(α+A)≤


5

(其中sinα=
2


5
5
,cosα=


5
5
),
b
c
+
c
b
≥2,
b
c
+
c
b
∈[2,


5
],本选项正确,
则正确说法的序号是①④⑤.
故答案为:①④⑤
核心考点
试题【已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中:①在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若该三角形有两解,则x取值范围是2<x<22;②在△】;主要考察你对正弦定理等知识点的理解。[详细]
举一反三
在△ABC中,AB=2,AC=1,∠ABC=
π
6
,则∠BAC=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sinB-sinC=
3
5
sinA
,则顶点A的轨迹方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于(  )
A.12B.
21
2
C.28D.6


3
题型:不详难度:| 查看答案
△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,如果a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为
3
2
,那么b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,a,b,c分别为三内角A,B,C所对的边,若B=2A,则b:2a的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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