题目

题型：不详难度：来源：

给出以下命题：
（1）若

∫

ba

f(x)dx＞0，则f（x）＞0；  
（2）

∫

2π0

|sinx|dx=4；
（3）应用微积分基本定理，有

∫

21

1

x

dx=F(2)-F(1)，则F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则

∫

a0

f(x)dx=

∫

a+TT

f(x)dx；
其中正确命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）错误．
（2）∫₀^2π|sinx|dx=∫₀^π|sinx|dx+∫_π^2π|sinx|dx=∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx=（-cosx）|_0^π+cosx|π^2π=1-（-1）+1-（-1）=4．（2）正确．
（3）根据函数导数运算性质，若F′（x）=

1

x

，应有  F（x）=lnx+c  （c为常数），（3）错误．
（4）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），即

∫

a0

f(x)dx=

∫

a+TT

f(x)dx；（4）正确．
正确命题的个数为2，
故选B．