题目

题型：郑州一模难度：来源：

已知an=

∫

n0

(2x+1)dx，数列{

1

an

}的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-8，则b_nS_n的最小值为______．

答案

a_n=

∫

n0

（2x+1）dx=（x²+x）

|

n0

=n²+n
∴

1

an

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴数列{

1

an

}的前n项和为S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

又b_n=n-8，n∈N^*，
则b_nS_n=

n

n+1

×（n-8）=n+1+

9

n+1

-10≥2

9

-10=-4，等号当且仅当n+1=

9

n+1

，即n=2时成立，
故b_nS_n的最小值为-4．
故答案为：-4．