题目
题型:广东省模拟题难度:来源:
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(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
答案
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∴
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令f′(x)=0,得x=a,
①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数 f(x)无最小值;
②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a) 上单调递减;
当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna;
③若a≥e,则f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值
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综上可知,
当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]无最小值;
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为
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(Ⅱ)∵
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∴
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由(Ⅰ)知,当a=1时,
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此时f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln1=0,
即
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当
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∴
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曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)=0有实数解,
而g′(x0)>0,即方程g′(x0)=0无实数解,
故不存在x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直。
核心考点
试题【已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;(Ⅱ)是否存】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(Ⅰ)当λ1=1,λ2=0时,设x1,x2是f(x)的两个极值点,
①如果x1<1<x2<2,求证:f′(-1)>3;
②如果a≥2,且x2-x1=2且x∈(x1,x2)时,函数g(x)=f′(x)+2(x-x2)的最小值为h(a),求h(a)的最大值;
(Ⅱ)当λ1=0,λ2=1时,
①求函数y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值;
②对于任意的实数a,b,c,当a+b+c=3时,求证:3a·a+3b·b+3c·c≥9。
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(Ⅰ)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧
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(Ⅰ)当m=
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(Ⅱ)讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况。
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(Ⅰ)求实数b,c的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数;
(Ⅲ)当a>0,b>0时,求证:f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2。
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