题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=alnx+x²，g（x）=（a+1）x-4，
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞1），使得对任意的x∈，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
注：e为自然对数的底数

答案

解：（Ⅰ），，
∵，
∴切点为，切线斜率，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y-3=0。
（Ⅱ）f（x）＜g（x）在x∈上恒成立，
也就是在x∈上的最大值小于0，
，
（x＞0），
（1）若a≥e，则当时，，h（x）单调递增；
当时，，h（x）单调递减，
∴h（x）的最大值为，
∴；
（2）若，则当时，，h（x）单调递增；
当时，，h（x）单调递减；
当时，，h（x）单调递增；
∴h（x）的最大值为，从而，
其中，由，得，这与矛盾；
综合（1）（2）可知：当时，对任意的，恒有f（x）＜g（x）成立。