题目
题型:天津月考题难度:来源:
(Ⅰ)若xf"(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x﹣1)f(x)≥0.
答案
解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得,
∴xf′(x)=xlnx+1,
题设xf′(x)≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a,
令g(x)=lnx﹣x,则g′(x)=.
当0<x<1时,g′(x)>0;
当x≥1时,g′(x)0,
∴x=1是g(x)的最大值点,
∴g(x)≤g(1)=﹣1.
综上,a的取值范围是[﹣1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)≤g(1)=﹣1,即lnx﹣x+1≤0;
0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx﹣x+1)≤0;
当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x(lnx+-1)≥0
所以(x-1)f(x)≥0
核心考点
举一反三
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(1)求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)求函数f(x)在闭区间[﹣2,2]上的最大值和最小值.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019074359-55359.png)
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有
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