题目
题型:期末题难度:来源:
(1)求实数a的值;
(2)若k∈Z,且对任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)当n>m≥4时,证明(mnn)m>(nmm)n.
答案
因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,
所以f"(e)=3,即a+lne+1=3.所以a=1.
(2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx,所以对任意x>1恒成立,即对任意x>1恒成立.
令,则,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0,
所以函数在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
所以.
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).故整数k的最大值是3.
(3)证明:由(2)知,是[4,+∞)上的增函数,
所以当n>m≥4时,.
即n(m﹣1)(1+lnn)>m(n﹣1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n﹣m).
因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).
所以(mnn)m>(nmm)n.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若k∈Z,且对任意x>1恒成立,求k的最大值;】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与g(x)的图象相切,求实数b的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间,求实数b 的取值范围;
(3)若b>1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求b的取值范围.
(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>g(x)+;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)求导数f"(x).
(2)若f"(﹣1)=0,求f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值.
(3)若f(x)在(﹣∞,﹣2)和[2,+∞]上都是递增的,求a的取值范围.
(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
最新试题
- 1已知血友病是由X染色体上的隐性基因(b)控制的。现有一对刚刚结婚的青年夫妇,夫妇双方都正常,但女方的弟弟是血友病患者(其
- 2(14分)Ⅰ.钢铁工业是国家工业的基础。请回答钢铁腐蚀、防护过程中的有关问题。请写出钢铁在碱性、潮湿的环境下发生电化学腐
- 3 Do you think regular exercise ___ good health?A.benefit fro
- 4计算: =
- 5.已知各项均不为零的数列,定义向量,,. 下列命题中真命题是 A.若总有成立,则数列是等差数列B.若总有成立,则数列是等
- 61979年安徽凤阳全县粮食产量是1976年的3.8倍,人均收入是1976年的6.3倍。出现这种变化是因为[ ]A
- 7被称为“日光城”的城市是A.西宁B.成都C.乌鲁木齐D.拉萨
- 8When________there, the postman found the door locked and the
- 9某学生试图用电解法根据电极上析出物质的质量来验证阿伏加德罗常数值,其实验方案的要点为:①用直流电电解氯化铜溶液,所用仪器
- 10已知:一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,那么另一组数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4
热门考点
- 1小红帮妈妈设计了一份午餐食谱:米饭、清炖牛肉、麻辣豆腐。在加上哪种食物后这份食谱更合理( )A.素炒豆角B.牛奶C.排
- 2下列各句中没有语病的一句是( )A.在非洲,数千名肯尼亚犯人决定在元旦这一天少吃一顿饭,省下钱来帮助数百万面临食物短缺
- 3在竖直平面内,一根光滑金属杆弯成如图所示形状,相应的曲线方程为(单位:m),式中k=1 m-1。将一光滑小环套在该金属杆
- 4下图表示温度对果胶酶活性的影响。(1)在图中,T0表示果胶酶催化反应的___________温度。(2)图中Ta和Tb两
- 5在南半球永远也看不到北极星,而在北极点却有约半年的时间能看到北极星就在天顶,那是因为北极星的星光直射在下列哪点的附近 (
- 6.若 。
- 7My earliest childhood memory was about kindergarten (幼儿园). M
- 8已知实数x,y满足x-2+y2+4y+4=0,则x-y=______.
- 9设a=log32,b=In2,c=,则[ ]A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a
- 10如图a所示,一轻质弹簧的下端固定在水平面上,上端放置一物体(物体与弹簧不连接),初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉