题目

题型：江苏省月考题难度：来源：

设m、t为实数，函数，f（x）的图象在点M（0，f（0））处的切线的斜率为1．
（1）求实数m的值；
（2）若对于任意x∈[﹣1，2]，总存在t，使得不等式f（x）≤2t成立，求实数t的取值范围；设方程x²+2tx﹣1=0的两个实数根为a，b（a＜b），若对于任意x∈[a，b]，总存在x₁、x₂∈[a，b]，使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，记g（t）=f（x₂）﹣f（x₁），当时，求实数t的值．

答案

解：（1）∵
∴f "（x）=
∵函数，f（x）的图象在点M（0，f（0））处的切线的斜率为1
∴f "（0）=1
∴m=1
（2）由（1）知f（x）=
∵对于任意x∈[﹣1，2]，总存在t，使得不等式f（x）≤2t成立
∴对于任意x∈[﹣1，2]，总存在t，使得不等式t≥成立
即t≥
令s（x）=则s "（x）=
∴当s"（x）≥0时﹣≤x≤
当s"（x）≤0时x≤﹣或x≥而x∈[﹣1，2]
故﹣1≤x≤﹣或≤x≤2
∴s（x）在[﹣1，﹣]单调递减，在（﹣，）单调递增，在[，2]单调递减
∵s（﹣）=﹣，s（2）=
∴s（x）_min=﹣
∴t≥﹣
又由韦达定理可得a+b=﹣2t，ab=﹣1，b﹣a=2
若对于任意x∈[a，b]，总存在x₁，x₂∈[a，b]使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，说明x₁，x₂分别是区间[a，b]f（x）的最小最大值点．
由（1）可得，f"（x）=，
注意h（x）=x²+2tx﹣1，不难发现函数f（x）在区间[a，b]f "（x）≥0，f（x）递增，
则x₁=a，x₂=b
则g（t）=f（x₂）﹣f（x₁）=f（b）﹣f（a）
              ==
∵a+b=﹣2t，ab=﹣1，b﹣a=2
∴g（t）=
∵
∴t=±2