题目

题型：黑龙江省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x。
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）已知x₁，x₂为f（x）的两个不同极值点，x₁< x₂，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂ |-1若，证明。

答案

解：（1）当a=2，f（x）=（x²-1）e^x， f "（x）=（x²+2x-1）e^x 
∴f "（1）=2e
又f（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0。       
（2）因为f "（x）=（x²+2x-a+1）e^x ，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a+1，
因为 |x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，  所以2≥|-a+1|-1，解得-2≤a≤4。
又由△>0得a>0，所以0<a≤ 4，
又由f "（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，x₁=
因为0<a≤4，所以 ∈[-3，-1）

又因为，
所以a=（-1-x₁）²=x₁²+2x₁+1
所以，
令=0得x₁=-2或2，
在区间[-3，-1）上，g（x₁），g"（x₁）变化状态如下表：
     
所以当x₁=-2时，g（x₁）取得最大值，所以