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题目
题型:黄州区模拟难度:来源:
已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R.
(I)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(II)对f(x)图象上的任意不同两点P1(x1,x2),P(x2,y2)(0<x1<x2),证明f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等;
(III)当a=
3
2
时,设正项数列{an}满足:an+1=f"(an)(n∈N*),若数列{a2n}是递减数列,求a1的取值范围.
答案
(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+
1
x
=
-x +1
x

对于x∈(0,1),有f"(x)>0,∴f(x)在区间(0,1]上为增函数,
对于x∈(1,+∞),有f"(x)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,.
∴fmax(x)=f(1)=-1;
(II)直线P1P2的斜率为 k=
ax2+lnx2-ax1-lnx1
x2-x1
=a+
lnx2-lnx1
x2-x1

由(1)知-x+lnx≤-1,当且仅当x=1时取等号,
-
x2
x1
+ln
x2
x1
<-1⇒ln
x2
x1
x2
x1
-1⇒lnx2-lnx1
x2-x1
x1
lnx2-lnx1
x2-x1
1
x1

同理,由 -
x1
x2
+ln
x1
x2
<-1
,可得
lnx2-lnx1
x2-x1
1
x2

故P1P2的斜率 k∈(a+
1
x2
,a+
1
x1
)

又在x∈(x1,x2)上,f(x)=a+
1
x
∈(a+
1
x2
,a+
1
x1
)

所以f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行;
(III)f(x)=
3
2
x+lnx
,f′(x)=
3
2
+
1
x
,∴an+1=
3
2
+
1
an

a3=
3
2
+
1
a2
,a4=
3
2
+
1
a3
=
3
2
+
1
3
2
+
1
a2
=
13a2+6
2(3a2+2)
<a2⇒2a22-3a2-2>0,
⇒(2a2+1)(a2-1)>0⇒a2>2⇒
3
2
+
1
a1
>2
⇒0<a1<2,
下面我们证明:当0<a1<2时,a2n+2<a2n,且a2n>2(n∈N+
事实上,当n=1时,0<a1<2⇒a2=
3
2
+
1
a1
>2

a4-a2=
13a2+6
2(3a2+2)
-a2=-
3(2a2+1)(a2-2)
2(3a2+2)
<0
⇒a4<a2,结论成立.
若当n=k时结论成立,即a2k+2<a2k,且a2k>2,则
a2k+2=
3
2
+
1
a2k
>2
⇒a2k+4=
3
2
+
1
a2k+2
>2

a2k+4-a2k+2=
13a2k+2+6
2(3a2k+2+2)
-a2k+2=-
3(2a2k+2+1)(a2k+2-2)
2(3a2k+2+2)
<0

⇒a2k+4<a2k+2
由上述证明可知,a1的取值范围是(0,2).
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R.(I)当a=-1时,求f(x)的最大值;(II)对f(x)图象上的任意不同两点P1(x1,x2),P(x2,y2)(0<】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比,已知当速度为每小时20千米时,每小时消耗的煤的费用为40元;火车行驶的其它费用为每小时200元,则火车行驶的速度为______(千米/小时)时,火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米,且火车最高速度为每小时100千米).
题型:不详难度:| 查看答案
如果对于任意的正实数x,不等式x+
a
x
≥1
恒成立,则a的取值范围是______.
题型:深圳二模难度:| 查看答案
函数f(x)=x3-6x2的定义域为[-2,t],设f(-2)=m,f(t)=n,f′(x)是f(x)的导数.
(Ⅰ)求证:n≥m;
(Ⅱ)确定t的范围使函数f(x)在[-2,t]上是单调函数;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足f(x0)=
n-m
t+2
;并确定这样的x0的个数.
题型:不详难度:| 查看答案
f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上f(x)的最小值是(  )
A.-5B.-11C.-29D.-37
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数F(x)=
1
3
ax3-bx2+cx+d(a≠0)
的图象过原点,f(x)=F′(x),g(x)=f′(x),f(1)=0,函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)若y=F(x)在x=-1处取得极大值2,求函数y=F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若使g(x)=0的x值满足x∈[-
1
2
1
2
]
,求线段AB在x轴上的射影长的取值范围.
题型:自贡一模难度:| 查看答案
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