题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)求函数f(x)在[1,+∞)上的最值.
答案
∵f′(x)=1-
1 |
x |
∵当x∈(0,1)时,f"(x)<0,∴函数f(x)在(0,1)上为减函数
∵当x∈(1,+∞)时f"(x)>0,∴函数f(x)在(1,+∞)上为增函数
∴当x=1时,函数f(x)有最小值,f(x)最小值=f(1)=1
(Ⅱ)∵f′(x)=a-
1 |
x |
若a≤0,则对任意的x∈[1,+∞)都有f"(x)<0,∴函数f(x)在[1,+∞)上为减函数
∴函数f(x)在[1,+∞)上有最大值,没有最小值,f(x)最大值=f(1)=a;
若a>0,令f"(x)=0得x=
1 |
a |
当0<a<1时,
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
当x∈(
1 |
a |
1 |
a |
∴当x=
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
当a≥1时,
1 |
a |
∴函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,函数f(x)在[1,+∞)有最小值,f(x)最小值=f(1)=a.
综上得:当a≤0时,函数f(x)在[1,+∞)上有最大值,f(x)最大值=a;
当0<a<1时,函数f(x)有最小值,f(x)最小值=1-ln
1 |
a |
当a≥1时,函数f(x)在[1,+∞)有最小值,f(x)最小值=a,没有最大值.
核心考点
举一反三
3 |
2 |
1 |
3 |
(1)当a=-2时,求f(x)在闭区间[-1,1]上的最大值与最小值;
(2)若线段AB:y=2x+3(0≤x≤2)与导函数y=f"(x)的图象只有一个交点,且交点在线段AB的内部,试求a的取值范围.
2 |
x |
9 |
1-2x |
1 |
2 |
1 |
2 |
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