题目
题型:不详难度:来源:
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在负实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是4?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
(3)对x∈D如果函数F(x)的图象在函数G(x)的图象的下方,则称函数F(x)在D上被函数G(x)覆盖.求证:若a=1时,函数f(x)在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖.
答案
f(-x)=-ax+2ln(-x)=-f(x),
∴f(x)=ax-2ln(-x),
∴f(x)
|
(2)假设存在a<0,满足题意,∵f(x)=ax-2ln(-x),x∈[-∞,0)
∴f′(x)=a+
2 |
x |
a(x+
| ||
x |
令f′(x)=0,x=-
2 |
a |
当-
2 |
a |
2 |
e |
2 |
a |
2 |
a |
∴f(x)min=f(-
2 |
a |
当-
2 |
a |
2 |
a |
∴f(x)min=f(-e)=4,解得a=-
6 |
e |
2 |
e |
综上所诉,存在a=-2e满足题意.
(3)证明:由题意知,只需证x3>x+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立,
令h(x)=x3-x-2lnx(x>1),
∴h′(x)=3x2-1-
2 |
x |
(x-1)(3x2+3x+2) |
x |
∵x>1,∴x-1>0,3x2+3x+2>0,
∴h′(x)>0,对x∈(1,+∞)恒成立,
∴x>1时,h(x)>h(1)=0
∴h(x)>0⇔x3>x+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立,即证;
核心考点
试题【已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=ax+2lnx,(a∈R)(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在负实】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[
1 |
e |
(3)关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围. (e 为自然常数,约等于2.718281828459)
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意实数α和β恒有不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m成立,求m的最小值.
A.1+
| B.1 | C.e+1 | D.e-1 |
1 |
2 |
(1)设h(x)=f(x+1)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值;
(2)证明:当0<b<a时,求证:f(a+b)-f(2b)<
b-a |
2a |
(3)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x-1)<xf(x)+3g′(x)+4恒成立,求k的最大值.
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